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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 11: 积分极限定理}{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

在这一节里读者将会看到新的积分在处理积分和极限交换顺序时, 所要求的条件比Riemann积分要弱得多. 所以本节中一些基本定理在一般分析数学中被经常引用. 

\section{控制收敛定理}

在本节中所讨论的可测集, 如果没有特别申明, 都是指某个测度空间 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 上的测度 \(\sigma\)-有限的集. 设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列函数, 如果 \(E\) 上有一个非负函数 \(F\), 使得
\[
|f_n(x)|\stackrel\cdot \leqslant F(x)
\]
对一切 \(n\) 在 \(E\) 上成立, 就称 \(F\) 是 \(\{f_n\}\) 的\textbf{控制函数}. 下面的定理称为Lebesgue的控制收敛定理. 它首先是由Lebesgue在Lebesgue积分的情况下证明的. 

\begin{theorem}[Lebesgue控制收敛定理]\label{thm3.4.1}
设 \(\{f_n\}\) 是可测集 \(E\) 上的一列可测函数, \(F\) 是它的一个可积的控制函数 (即在 \(E\) 上 \(|f_n| \stackrel\cdot\leqslant F, n=1,2,\dots\), 而 \(F\) 在 \(E\) 上可积) . 如果 \(\{f_n\}\) 依测度收敛于可测函数 \(f\), 那么 \(f\) 在 \(E\) 上是可积的, 并且
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu = \int_{E} f \mathrm d\mu \label{3.4.1}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
由于 \(f_n \implies f\), \(f\) 是可测的. 由 Lecture 9 知, 存在子序列 \(\{f_{n_\nu}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\), 因此从 \(|f_{n_\nu}| \stackrel\cdot\leqslant F\) 得到 \(|f| \stackrel\cdot\leqslant F\). 由 \(F\) 的可积性和 Lecture 10 引理 20 便知道 \(|f|\) 是可积的, 所以 \(f\) 也可积. 剩下的是证明等式 \eqref{3.4.1} 成立. 

先证 \(\mu(E) < \infty\) 情况下成立. 对任何 \(\varepsilon > 0\), 记 \(H_n = E\left( |f_n - f| \geqslant \frac{\varepsilon}{2(\mu(E)+1)} \right)\). 考虑
\[
\int_E (f_n - f) \mathrm d\mu = \int_{E-H_n} (f_n - f) \mathrm d\mu + \int_{H_n} (f_n - f) \mathrm d\mu
\]
右边第一个积分利用被积函数很小 (\(E-H_n = E(|f_n - f| < \frac{\varepsilon}{2(\mu(E)+1)}\)) 得到
\begin{equation}
	\left| \int_{E-H_n} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| \leqslant \int_{E-H_n} |f_n - f| \mathrm d\mu < \frac{\varepsilon}{2(\mu(E)+1)} \cdot \mu(E-H_n) < \frac{\varepsilon}{2} \label{3.4.2}
\end{equation}
利用 \(F\) 的积分的全连续性, 即存在 \(\delta > 0\), 对任何 \(e \subseteq E, \mu(e) < \delta\), 
\begin{equation}
	\int_e F \mathrm d\mu < \frac{\varepsilon}{4} \label{3.4.3}
\end{equation}
对于这个 \(\delta\), 再利用 \(f_n \implies f\), 便知必存在 \(N\), 当 \(n \geqslant N\) 时, \(\mu(H_n) < \delta\). 从而得到右边第二个积分 (用 \(H_n\) 代替 \eqref{3.4.3} 中 \(e\)) 的估计
\begin{equation}
	\left| \int_{H_n} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| \leqslant 2 \int_{H_n} F \mathrm d\mu < \frac{\varepsilon}{2}, \quad n \geqslant N \label{3.4.4}
\end{equation}
由 \eqref{3.4.2}、\eqref{3.4.4} 立即得到 \eqref{3.4.1} 在 \(\mu(E) < \infty\) 时成立. 

现在利用在 \(\mu(E) < \infty\) 情况下 \eqref{3.4.1} 成立这个事实来证明 \(E\) 是 \(\sigma\)-有限时, \eqref{3.4.1} 也成立: 对任何 \(\varepsilon > 0\), 由积分定义, 存在 \(E_k \subseteq E, \mu(E_k) < \infty\), 并且
\[
\int_E F \mathrm d\mu < \int_{E_k} [F]_k \mathrm d\mu + \frac{\varepsilon}{4},
\]
从上述得到
\[
\int_{E-E_k} F \mathrm d\mu = \int_E F \mathrm d\mu - \int_{E_k} F \mathrm d\mu \leqslant \int_E F \mathrm d\mu - \int_{E_k} [F]_k \mathrm d\mu < \frac{\varepsilon}{4}
\]
由此得到
\begin{align*}
	\left| \int_{E} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| &\leqslant \left| \int_{E_k} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| + \left| \int_{E - E_k} (f_n - f) \mathrm d\mu \right|\\
&\leqslant \left| \int_{E_k} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| + \left| \int_{E - E_k} 2F \mathrm d\mu \right| < \left| \int_{E_k} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| + \frac{\varepsilon}{2}
\end{align*}
但 \(E_k\) 是满足 \(\mu(E_k) < \infty\). 对 \(E_k\), \eqref{3.4.1} 成立, 所以必存在 \(N\), 当 \(n \geqslant N\) 时, 
\[
\left| \int_{E_k} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| < \frac{\varepsilon}{2}
\]
从而当 \(n \geqslant N\) 时, 
\[
\left| \int_{E} (f_n - f) \mathrm d\mu \right| < \varepsilon.
\] 
\end{proof}

仿照这个定理, 可以得到几乎处处收敛函数列的控制收敛定理. 

\begin{theorem}\label{thm3.4.1'}
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可测函数, \(F\) 是它的控制函数, 并且是可积的. 又如果 \(\{f_n\}\) 几乎处处收敛于可测函数 \(f\), 那么 \(f\) 在 \(E\) 上必是可积的, 并且
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu = \int_{E} f \mathrm d\mu
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
与定理 \ref{thm3.4.1} 一样, \(f\) 的可积性是显然的. 主要是证明积分与极限交换顺序. 证明过程和定理 \ref{thm3.4.1} 相仿. 对于 \(\sigma\)-有限集 \(E\), 用定理 \ref{thm3.4.1} 方法, 同样化为只要证明在测度有限的情况下\eqref{3.4.1}成立. 而在 \(\mu(E) < \infty\) 情况下, 利用几乎处处收敛必依测度收敛, 因而也可以得到\eqref{3.4.1}. 由此可知定理 1' 是成立的. 证毕. 
\end{proof}

控制收敛定理的特殊情况便是下面的有界控制收敛定理: 

\begin{corollary}[有界控制收敛定理]\label{coro3.4.1.1}
设 \(E\) 是可测集, \(\mu(E) < \infty\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可测函数, 且存在常数 \(K\), 使得 \(|f_n| \stackrel\cdot\leqslant K, n = 1, 2, \dots\). 如果 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛(或依测度收敛)于可测函数 \(f\), 那么
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu = \int_{E} f \mathrm d\mu
\]
\end{corollary}

\begin{proof}
这时取 \(F \equiv K\) 作为定理 \ref{thm3.4.1} 中控制函数, 由于 \(\mu(E) < \infty\), \(F\) 便是可积的. 根据定理 \ref{thm3.4.1}, 推论显然成立. 
\end{proof}

\begin{corollary}\label{coro3.4.1.2}
设 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 是完全测度空间, \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可测函数, \(F\) 是 \(\{f_n\}\) 的控制可积函数. 如果 \(f_n \implies f\) 或 \(f_n \stackrel\cdot\to f\), 那么 \(f\) 必是 \(E\) 上可积函数, 并且
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu = \int_E f \mathrm d\mu
\]
\end{corollary}

\begin{proof}
因为 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 是完全的, 所以 \(f\) 是可测的(无论 \(f_n \implies f\) 或 \(f_n \to f\)). 利用定理 \ref{thm3.4.1} 和定理 \ref{thm3.4.1'} 立即得证. 
\end{proof}

下面我们举一些控制收敛定理的具体应用的例子. 

\begin{theorem}\label{thm3.4.2}
有界函数 \(f\) 在区间 \([a, b]\) 上Riemann可积的充要条件是 \(f\) 在 \([a, b]\) 上有界且(关于 \(m\))几乎处处连续(或者说, \(f\) 的不连续点全体是一个 \(m\)-零集). 
\end{theorem}

\begin{proof}
这里所用的一切记号采用 Lecture 10 定理 14. 在那里, 对任一列单调分点组 \(\{D_n\}: D_n \subseteq D_{n+1}, \delta(D_n) \to 0\), 引入两列简单函数 \(\{\varphi_n\}\) 和 \(\{\psi_n\}\): \(\{\varphi_n\}\) 是单调增加的函数列, 极限函数为 \(\underline{f}\); \(\{\psi_n\}\) 是单调下降的函数列, 极限函数 \(\overline{f}\), 并且
\[
\underline{f} \leqslant f \leqslant \overline{f} \tag{Lec10.20}
\]
这些事实, 对任何 \([a, b]\) 上有界函数都是对的. 

设 \(f\) 是Riemann可积的, 由 Lecture 10 定理 14 知道 \(f\) 是有界的. 并且从证明过程得到
\begin{equation}
\underline{f} \underset{m}{\stackrel\cdot =} \overline{f} \underset{m}{\stackrel\cdot =} f \quad  \label{3.4.5}	
\end{equation}
记 \(E_1 = \{x | \underline{f} \neq f \text{ 或 } \overline{f} \neq f, x \in [a, b]\}\), 根据 \eqref{3.4.5}, \(m(E_1) = 0\). \(E_2\) 是分点组 \(\{D_n\}\) 中所有分点全体, 它是可列集, 所以是 \(m\)-零集. 因此 \(E_0 = E_1 \cup E_2\) 是 \(m\)-零集. 今证明当 \(x_0 \in E_0\) 时, 必是 \(f\) 的连续点: 事实上, 对任何 \(\varepsilon > 0\), 根据 \eqref{3.4.5}, 必有自然数 \(N\)
\begin{equation}
f(x_0) - \varphi_N (x_0) < \varepsilon, \quad \psi_N (x_0) - f(x_0) < \varepsilon \label{4.6}	
\end{equation}
又因为 \(x_0 \notin E_1 \cup D_N\), 设 \(x_0\) 落在 \(D_N\) 的分点 \(x_k^{(N)}, x_{k+1}^{(N)}\) 之间, 这时取 \[\delta = \min (x_{k+1}^{(N)} - x_0, x_0 - x_k^{(N)}).\] 
对任何 \(x^{\prime} \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\), 由于
\begin{equation}
	f(x^{\prime}) \leqslant \psi_N(x^{\prime}) = \psi_N(x_0),\quad f(x^{\prime}) \geqslant \varphi_N(x^{\prime}) = \varphi_N(x_0) \label{3.4.7}
\end{equation}
从 \eqref{3.4.6}、\eqref{3.4.7} 立即得到,
\begin{equation}
	f(x^{\prime}) \leqslant f(x_0) + \varepsilon,\quad f(x^{\prime}) \geqslant f(x_0) - \varepsilon \label{3.4.8}
\end{equation}
即 \(|f(x^{\prime}) - f(x_0)| < \varepsilon\), 也就是说 \(x_0\) 是 \(f\) 的连续点. 

反过来, 假设 \(f\) 在 \([a, b]\) 上有界且几乎处处连续. 记 \(f\) 的连续点全体为 \(E_3, m(E_3) = b - a\). 当 \(x_0 \in E_3\) 时, 对任何 \(\varepsilon > 0\), 必存在 \(\delta > 0\), 使得 \(x^{\prime} \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) 时, \eqref{3.4.8} 成立. 因此, 如果取一列分点组 \(\{D_n\}: D_n \subseteq D_{n+1}, \delta(D_n) \to 0\). 只要 \(\delta(D_n) < \delta\) 时, 相应于这个分点组, 所作的相应的函数 \(\varphi_n, \psi_n\) 根据 \eqref{3.4.8} 便有
\begin{equation}
	f(x_0) \geqslant \varphi_n(x_0) \geqslant f(x_0) - \varepsilon,\quad f(x_0) \leqslant \psi_n(x_0) \leqslant f(x_0) + \varepsilon \label{3.4.9}
\end{equation}
即 \(\psi_n(x_0) - \varphi_n(x_0) < 2\varepsilon\). 这样便得到
\[
\overline{f}(x_0) = \lim\limits_{n \to \infty} \psi_n(x_0) = f(x_0), \quad \underline{f}(x_0) = \lim\limits_{n \to \infty} \varphi_n(x_0) = f(x_0)
\]
即对任何 \(x_0 \in E_3, \overline{f}(x_0) = \underline{f}(x_0) = f(x_0)\), 也就是 \(\overline{f} \underset{m}{\stackrel\cdot =} \underline{f}\). 

由于 \(f\) 是有界的, 所以存在常数 \(K\), 使得 \(|f| \leqslant K\). 因而 \(|\varphi_n| \leqslant K, |\psi_n| \leqslant K\). 并且注意到 \(\varphi_n \to \underline{f}, \psi_n \to \overline{f}\). 利用推论 \ref{coro3.4.1.1}, 便得到Riemann大、小和
\begin{equation}\label{3.4.10}
	\begin{split}
		\underline{S}(D_n) &= (R) \int_a^b \varphi_n \mathrm dx = (L) \int_a^b \varphi_n \mathrm dx \to (L) \int_a^b \underline{f} \mathrm dx\\
\overline{S}(D_n) &= (R) \int_a^b \psi_n \mathrm dx = (L) \int_a^b \psi_n \mathrm dx \to (L) \int_a^b \overline{f} \mathrm dx 
	\end{split}
\end{equation}
但因为 \(\overline{f} \underset{m}{\stackrel\cdot =} \underline{f}\), 所以
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} (\overline{S}(D_n) - \underline{S}(D_n)) = 0 \label{3.4.11}
\end{equation}
从 \eqref{3.4.11} 立即知道 \(f\) 的 Darboux的大、小和相等, 因而 \(f\) 是Riemann可积的.
\end{proof}

现在再举一些控制收敛定理的应用. 

\begin{theorem}\label{thm3.4.3}
设 \(f(x,t)\) 是定义在矩形 \(\{(x,t)|a \leqslant x \leqslant b, \alpha \leqslant t \leqslant \beta\}\) 上的函数(此地 \([a,b],[\alpha,\beta]\) 可以是无限的), 如果对于 \([\alpha,\beta]\) 中任何一个固定的 \(t\), \(f(x,t)\) 关于 \(x\) 在 \([a,b]\) 上是Lebesgue可测的, 而当 \(t^{\prime} \to t\) 时, \(f(x,t^{\prime})\) 在 \([a,b]\) 上关于 \(m\) 几乎处处收敛于 \(f(x,t)\), 并且存在 \([a,b]\) 上Lebesgue可积函数 \(F\), 使得 \(|f(x,t)| \underset{m}{\stackrel\cdot\leqslant} F(x)\). 那么, 当 \(t \in [\alpha,\beta]\) 时, 积分
\[
I(t) = \int_a^b f(x,t) \mathrm dx
\]
不仅存在, 而且是 \(t\) 的连续函数. 
\end{theorem}

\begin{proof}
对任何固定的 \(t\), 由 \(F\) 的可积性, 立即推知 \(f(x,t)\) 也是 \(x\) 的可积函数, 因而 \(I(t)\) 存在. 今再证 \(I(t)\) 是 \(t\) 的连续函数: 设 \(t_0 \in [\alpha,\beta]\), 任取 \([\alpha,\beta]\) 中一列 \(\{t_n\}\), 如果 \(t_n \to t_0\), 这时作为 \(x\) 的函数序列 \(\{f(x,t_n)\}\) 有控制可积函数 \(F(x)\), 由定理 \ref{thm3.4.1}, 得到
\[
\lim\limits_{n \to \infty} I(t_n) = I(t_0)
\]
这就是说 \(t_0\) 是 \(I(t)\) 的连续点. \(t_0\) 是任意的, 所以 \(I(t)\) 是连续函数.
\end{proof}

再研究 \(I(t)\) 的可微性: 

\begin{theorem}\label{3.4.4}
设 \(f(x,t)\) 是矩形 \(\{(x,t)|a \leqslant x \leqslant b, \alpha \leqslant t \leqslant \beta\}\) 上的二元函数, 固定 \(t \in [\alpha,\beta]\), \(f(x,t)\) 是 \(x\) 的Lebesgue可积函数. 如果关于 \(m\) 对几乎所有 \(x\), 函数 \(f(x,t)\) 对 \(t\) 有偏导数, 并且存在 \([a,b]\) 上Lebesgue可积函数 \(F(x)\), 使得
\begin{equation}
	\left| \frac{f(x,t+h)-f(x,t)}{h} \right|\stackrel\cdot \leqslant F(x) \label{3.4.12}
\end{equation}
那么 \(I(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上具有导函数, 并且
\begin{equation}
	\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_{a}^{b} f(x,t) \mathrm dx = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial t} f(x,t) \mathrm dx \label{3.4.13}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
先任取一列 \(h_n \to 0 (h_n \neq 0)\), 使 \(t + h_n \in [\alpha, \beta]\), 那么, 当 \(n \to \infty\) 时, 对于 \([a,b]\) 中几乎所有 \(x\), 成立着
\[
\frac{f(x,t+h_n) - f(x,t)}{h_n} \to \frac{\partial}{\partial t} f(x,t)
\]
且由于 \eqref{3.4.12}, 利用定理 \ref{thm3.4.1}, 便知
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} \frac{1}{h_n} [f(x,t+h_n) - f(x,t)] \mathrm dx = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial t} f(x,t) \mathrm dx
\]
即 \eqref{3.4.13} 成立. 
\end{proof}

关于 \(I(t)\) 的可积性的研究, 已涉及二次积分交换顺序问题, 这将放在重积分中讨论. 

\section{Levi 引理和 Fatou 引理}

下面介绍两个与控制收敛定理同等重要而且也是常用的收敛定理. 

\begin{theorem}[Levi引理]\label{thm3.4.5}
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上可积函数的单调增加序列, 如果它的积分序列有上界, 那么 \(f_n\) 必几乎处处收敛于一可积函数 \(f\), 而且
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu = \int_{E} f \mathrm d\mu \label{3.4.14}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
不妨设 \(f_n \geqslant 0\), 不然考虑 \(\{f_n - f_1\}\) 好了. 记 \(A = \sup\limits_{n} \int_{E} f_n \mathrm d\mu\). 

由于 \(\{f_n\}\) 单调增加, 所以极限函数 (这里暂时允许极限函数取无限大值) 处处存在, 记为 \(h\). 

今先证 \(E(h = \infty)\) 是可测集, 并且是 \(\mu\)-零集: 对任何自然数 \(N\), 显然
\[
0 \leqslant [f_1]_N \leqslant [f_2]_N \leqslant \cdots \leqslant [f_n]_N \leqslant \cdots \to [h]_N
\]
令 \(\{E_n\}\) 是 \(E\) 的测度有限单调覆盖. 由于 \(0 \leqslant [h]_N \leqslant N\), 且 \(\mu(E_N) < \infty\), 根据控制收敛定理, 
\begin{equation}
	\int_{E_N} [h]_N \mathrm d\mu = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_N} [f_n]_N \mathrm d\mu \leqslant A \label{3.4.15}
\end{equation}
因为 \(E_\infty = E(h = \infty) = \bigcap\limits_{N=1}^\infty E([h]_N = N)\), 而 \(E([h]_N = N)\) 是可测集, 所以 \(E(h = \infty)\) 是可测集. 并且
\[
N \mu (E_\infty \cap E_N) = \int_{E_\infty \cap E_N} N \mathrm d\mu = \int_{E_N \cap E_\infty} [h]_N \mathrm d\mu \leqslant A
\]
因此 \(\mu(E_\infty \cap E_N) \leqslant \frac{A}{N}\). 对任何 \(N > n\), \(E_n \subseteq E_N\), 从而
\[
\mu(E_\infty \cap E_n) \leqslant \mu(E_\infty \cap E_N) \leqslant \frac{A}{N}
\]
令 \(N \to \infty\), 立即得到 \(E_\infty \cap E_n\) 是 \(\mu\)-零集. 再令 \(n \to \infty\), 就知道 \(E_\infty\) 也是 \(\mu\)-零集. 作 \(f\) 如下: 
\[
f(x) =
\begin{cases}
h(x), & h(x) < \infty \\
0, & h(x) = \infty
\end{cases}
\]
显然 \(f\) 是 \(E\) 上有限函数, \(f\stackrel\cdot = h\) (因此 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n\stackrel\cdot = f\)) , \([f]_N\stackrel\cdot = [h]_N\). 由 \eqref{3.4.15} 立即可知
\[
\int_{E_N} [f]_N \mathrm d\mu \leqslant A
\]
从而 \(f\) 是 \(E\) 上可积函数. 再用 \(f\) 作为序列 \(\{f_n\}\) 的控制可积函数, 由控制收敛定理知 \eqref{3.4.14} 成立.
\end{proof}

Levi引理的另一个形式如下: 

\begin{theorem}[Levi引理']\label{thm3.4.5'}
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上可积函数的单调下降序列, 又设 \(\lim\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu > -\infty\), 那么 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上必几乎处处收敛于一可积函数, 而且 \eqref{3.4.14} 成立. 
\end{theorem}

\begin{proof}
只要考察 \(\{-f_n\}\) 序列, 对 \(\{-f_n\}\) 用定理5就得到定理5'. 
\end{proof}

本引理还有一种常用的级数形式: 

\begin{theorem}[Levi引理'']\label{thm3.4.5''}
设 \(\{u_n\}\) 是 \(E\) 上非负的可积函数序列, 并且 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_E u_n \mathrm d\mu < \infty\). 那么函数项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n\) 必几乎处处收敛于 \(E\) 上一个可积函数 \(f\), 并且
\[
\int_E f \mathrm d\mu = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_E u_n \mathrm d\mu
\]
\end{theorem}

这个定理由读者自己证明. 

\begin{theorem}[Fatou引理]\label{thm3.4.6}
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可积函数, 如果有 \(E\) 上一可积函数 \(h\), 使 \(f_n\stackrel\cdot \geqslant h, n=1,2,\dots\), 而且
\[
\liminf\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu < \infty
\]
那么函数 \(\liminf\limits_{n \to \infty} f_n\) 是 \(E\) 上可积函数\footnote{当函数在一个零集的子集上函数值为$\pm\infty$时, 可改变这个零集上的函数值为有限常数.}, 而且
\begin{equation}
	\int_{E} \liminf\limits_{n \to \infty} f_n \mathrm d\mu \leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu \label{3.4.16}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
对任何两个自然数 \(m,n\), 作函数
\[
F_{mn} = \min(f_m, f_{m+1}, \dots, f_{m+n})
\]
显然 \(F_{mn} \stackrel\cdot\geqslant h\). 又当 \(m\) 固定时, \(\{F_{mn}\}\) 是随 \(n\) 增加而单调下降的可积函数, 而依据积分的单调性, 
\begin{equation}
	\int_E h \mathrm d\mu \leqslant \int_E F_{mn} \mathrm d\mu \leqslant \min\left( \int_E f_m \mathrm d\mu, \int_E f_{m+1} \mathrm d\mu, \dots, \int_E f_{m+n} \mathrm d\mu \right) \label{3.4.17}
\end{equation}
固定 \(m\), 根据 \eqref{3.4.17}, 对 \(\{F_{mn}\}\) 应用定理 \ref{thm3.4.5'}, 得到极限函数 \(\lim\limits_{n \to \infty} F_{mn}\) (可能在一个 \(\mu\)-零集上取值为 \(-\infty\)) , 记它为 \(F_m\) (在 \(\lim\limits_{n \to \infty} F_{mn} = -\infty\) 的集上规定为零) , \(F_m\) 是可积的, 而且
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \int_E F_{mn} \mathrm d\mu = \int_E F_m \mathrm d\mu \label{3.4.18}
\end{equation}
再在 \eqref{3.4.17} 中令 \(n \to \infty\), 我们得到
\begin{equation}
	\int_E F_m \mathrm d\mu \leqslant \inf\limits_{k \geqslant m} \int_E f_k \mathrm d\mu \label{3.4.19}
\end{equation}
显然, \(\{F_m\}\) 是单调增加序列, 又根据 \eqref{3.4.19}, 便知道积分序列 \(\left\{ \int_E F_m \mathrm d\mu \right\}\) 的上确界不超过 \(\lim\limits_{m \to \infty} \inf\limits_{k \geqslant m} \int_E f_k \mathrm d\mu\) 然而
\[
\lim\limits_{m \to \infty} \inf\limits_{k \geqslant m} \int_E f_k \mathrm d\mu = \liminf\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu < \infty
\]
这样, 对序列 \(\{F_m\}\), 又可引用定理 \ref{thm3.4.5} 的结论, 得到 \(\{F_m\}\) 有可积的极限函数 \(F\), 而且
\begin{equation}
	\int_E F \mathrm d\mu = \int_{E} \lim\limits_{m \to \infty} F_m \mathrm d\mu = \lim\limits_{m \to \infty} \int_E F_m \mathrm d\mu \leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu \label{3.4.20}
\end{equation}
但是 \(F \stackrel\cdot = \lim\limits_{m \to \infty} F_m \stackrel\cdot = \lim\limits_{m \to \infty} \inf\limits_{k \geqslant m} f_k = \liminf\limits_{n \to \infty} f_n\). 由 \eqref{3.4.20} 便得到 \eqref{3.4.16}.
\end{proof}

同Levi引理一样, Fatou引理也有另一种形式. 

\begin{theorem}[Fatou引理']\label{thm3.4.6'}
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可积函数, 如果有 \(E\) 上的另一个可积函数 \(h\), 使得 \(f_n \stackrel\cdot\leqslant h\), 而且
\[
\limsup\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu > -\infty
\]
那么, 函数 \(\limsup\limits_{n \to \infty} f_n\) 在 \(E\) 上是可积函数, 而且
\begin{equation}
	\int_{E} \limsup\limits_{n \to \infty} f_n \mathrm d\mu \geqslant \limsup\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu \label{3.4.21}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
读者可以考察 \(\{-f_n\}\), 利用定理 \ref{thm3.4.6} 来推出本定理. 
\end{proof}

\section{极限定理的注}

上面是介绍三种极限定理的内容本身及某些应用. 此外, 我们还要说明两个问题: 

第一, 控制收敛定理、Levi定理以及Fatou定理三者是等价的. 所谓``等价'', 就是指如果其中有一个定理用某种途径先被证明, 那么其它两个便可由它推出. 本教材是采用先证控制收敛定理, 然后推出Levi定理, 最后再推出Fatou定理. 读者如果有兴趣, 可自行假设另一个定理成立, 而推出其它两个定理. 

第二, 这些收敛定理的基本条件是不可缺少的. 下面举一些例来说明这个问题. 

\begin{example}\label{eg1}
控制收敛定理中控制函数的可积性是不可缺少的. 例如, 在 \((\mathbb E^1, \mathbf{L}, m)\) 上, 取 \(E = (0, \infty)\) 函数
\[
f_n(x) =
\begin{cases}
1, & x \in [0, n], \\
0, & x \in (n, \infty),
\end{cases}
\quad n = 1, 2, \dots
\]
显然, 控制 \(f_n\) 的函数 \(F\), 必须 \(F \underset{m}{\stackrel\cdot\geqslant} 1\), 它在 \([0, \infty)\) 上不是Lebesgue可积的. \(f_n\) 的极限函数 \(f \equiv 1\), 在 \([0, \infty)\) 上不是Lebesgue可积的. 
\end{example}

再举一个控制收敛函数的可积性不可缺少的例子. 

\begin{example}\label{eg2}
\((0, \infty)\) 上函数列
\[
f_n(x) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + x^2} \quad n = 1, 2, \dots
\]
显然, 在 \((0, \infty)\) 上 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = 0\), 但是
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_0^\infty \frac{\frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + x^2} \mathrm dx = \frac{\pi}{2} \neq \int_0^\infty 0 \mathrm dx
\]
虽处处收敛, 但不能逐项积分, 其原因是在于不存在可积分的控制函数. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg3}
Levi引理中 \(\{f_n\}\) 的积分序列 \(\left\{ \int_E f_n \mathrm d\mu \right\}\) 有上界这个条件是不可缺少的. 例如作函数
\[
f_n(x) =
\begin{cases}
\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{x} \right|, & x \in \left[ \frac{1}{n}, 1 \right] \\
0, & x \in \left[ 0, \frac{1}{n} \right)
\end{cases}
\]
显然 \(\{f_n\}\) 是可积的单调增加序列, 而 \(\int_{0}^{1} f_n \mathrm dx \to \infty\). \(f_n\) 的极限函数是
\[
f(x) =
\begin{cases}
\left| \frac{\sin \frac{1}{x}}{x} \right|, & x \in (0, 1] \\
0, & x = 0
\end{cases}
\]
这是熟知的Lebesgue不可积函数. 
\end{example}

此外, 例 \ref{eg1} 中函数列 \(\{f_n\}\) 也可作为Levi定理中有上界这个条件不可少的反例. 

Fatou引理中存在可积的 \(h\), 使 \(h \leqslant f_n\), 以及 \(\liminf\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu < \infty\). 希望读者自己作出这两个条件不可少的例. 

第三, 当积分概念推广到可以取无限大值时, 那么在应用Levi和Fatou引理的时候, 将有一定的方便之处. 

设 \(f\) 是 \(E\) 上非负的 \((X, \mathbf{R}, \mu)\) 可测函数, \(\{E_n\}\) 为 \(E\) 上测度有限单调覆盖, \(\{M_n\}\) 是趋向 \(\infty\) 的正数列, 记极限 (允许是无限大) 
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E_n} [f]_{M_n} \mathrm d\mu \text{ 为 } \int_{E} f \mathrm d\mu
\]
显然 \(\int_{E} f \mathrm d\mu\) (可取无限大) 不依赖于 \(\{E_n\}\)、\(\{M_n\}\) 的选取. 对于一般函数 \(f\), 总有分解 \(f = f^+ - f^-\), 如果 \(\int_{E} f^+ \mathrm d\mu\)、\(\int_{E} f^- \mathrm d\mu\) 中至少有一个是有限的 (即至少有一个是可积的) , 那么记
\[
\int_{E} f \mathrm d\mu = \int_{E} f^+ \mathrm d\mu - \int_{E} f^- \mathrm d\mu
\]

\(\int_{E} f \mathrm d\mu\) 有下列一些性质: 例如
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
\item \(\int_{E} f \mathrm d\mu, \int_{E} h \mathrm d\mu\) 中有一个是有限时, 那么
\[
\int_{E} (f \pm h) \mathrm d\mu = \int_{E} f \mathrm d\mu \pm \int_{E} h \mathrm d\mu.
\]
\item 对任何有限数 \(\alpha\),
\[
\int_{E} \alpha f \mathrm d\mu = \alpha \int_{E} f \mathrm d\mu
\]
\item 单调性, 当 \(f \leqslant h\) 时, 那么
\[
\int_{E} f \mathrm d\mu \leqslant \int_{E} h \mathrm d\mu
\]
\end{enumerate}
代数性质不再一一列举. 

Levi 和 Fatou 引理最一般的形式可以叙述如下: 

\begin{theorem}[Levi]\label{thm3.4.7}
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可积函数, 并且 \(f_1 \leqslant f_2 \leqslant \cdots \leqslant f_n \leqslant \cdots\) (或 \(f_1 \geqslant f_2 \geqslant \cdots \geqslant f_n \geqslant \cdots\)) , 而 \(f_1\) 是 \(E\) 上积分有限的函数 (即 \(\int_{E} f_1 \mathrm d\mu\) 是有限值) , 那么
\begin{equation}
	\int_{E} \lim\limits_{n \to \infty} f_n \mathrm d\mu = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu \label{3.4.22}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
分两种情况: 
\begin{enumerate}
	\item 如果 \(\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu < \infty\). 这时, 因 \(f_1\) 是 \(E\) 上积分有限的函数, 由单调性, 一切 \(f_n\) 在 \(E\) 上都是积分有限的. 这样, 满足定理 \ref{thm3.4.5} 条件, 因而 \eqref{3.4.22} 成立.
	\item 如果 \(\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu = \infty\), 这时只要证 \(\int_{E} \lim\limits_{n \to \infty} f_n \mathrm d\mu = \infty\). 假如相反, 即 \(\int_{E} f \mathrm d\mu < \infty, f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n\). 因为 \(f \geqslant f_n (n=1, 2, \dots)\) 再由积分的单调性, 就应有
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu \leqslant \int_{E} \lim\limits_{n \to \infty} f_n \mathrm d\mu < \infty
\]
这与假设矛盾. 所以 \eqref{3.4.22} 成立. 
\end{enumerate}
单调下降情况类似可证.
\end{proof}

Levi引理说明: 对于单调的可积函数序列 \(\{f_n\}\), \textbf{只要唯一的条件, 即 \(\int_{E} f_1 \mathrm d\mu\) 是有限值}, 那么积分就与极限可以交换顺序. 

注意: \(\int_{E} f_1 \mathrm d\mu\) 是有限的条件不能少. 

\begin{example}\label{eg4}
设
\[
f_n(x)=\begin{cases}
-1, & x \in (-\infty, -n) \cup (n, \infty) \\
0, & x \in [-n, n]
\end{cases} \quad n=1,2,\dots
\]
显然 \(f_1 \leqslant f_2 \leqslant \cdots \leqslant f_n \leqslant \cdots\), \(\int_{-\infty}^{\infty} f_n \mathrm dx = -\infty\). 然而 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n = f\), \(f\) 在 \((-\infty, \infty)\) 上恒为零, 因而 \(\int_{-\infty}^{\infty} f \mathrm dx = 0\), 所以 \eqref{3.4.22} 不成立. 
\end{example}

\begin{theorem}[Fatou]\label{thm3.4.8}
设 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可积函数, 如果存在 \(E\) 上积分有限的函数 \(h\), 使得 \(h \leqslant f_n, n=1,2,\dots\), 那么
\begin{equation}
	\int_{E} \liminf\limits_{n \to \infty} f_n \mathrm d\mu \leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int_{E} f_n \mathrm d\mu \label{3.4.23}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
沿用定理 \ref{thm3.4.6} 的证明路子: 作 \(F_{mn} = \min(f_m, f_{m+1}, \dots, f_{m+n})\), 易知 \eqref{3.4.17} 在此也成立:
\begin{equation}
	\int_{E} h \mathrm d\mu \leqslant \int_{E} F_{mn} \mathrm d\mu \leqslant \min\left( \int_{E} f_m \mathrm d\mu, \int_{E} f_{m+1} \mathrm d\mu, \dots, \int_{E} f_{m+n} \mathrm d\mu \right) \label{3.4.24}
\end{equation} 
记 \(F_m = \lim\limits_{n \to \infty} F_{mn}\). 当 \(\inf\limits_{k \geqslant m} \int_{E} f_k \mathrm d\mu\) 是无限大 (显然只能是正无限大) 下式自动成立
\begin{equation}
	\int_{E} F_m \mathrm d\mu \leqslant \inf\limits_{k \geqslant m} \int_{E} f_k \mathrm d\mu \label{3.4.25}
\end{equation}
如果 \(\inf\limits_{k \geqslant m} \int_{E} f_k \mathrm d\mu < \infty\), 那么至少有 \(n_0\), 使得 \(\int_{E} f_{m+n_0} \mathrm d\mu < \infty\). 固定 \(m\), 对单调下降函数列 \(\{F_{mn}\}\) 可以(从 \(n_0\) 标号以后)用定理 \ref{thm3.4.5'} 得到 \eqref{3.4.25} 仍成立. 

取 \(F_0 = h\), 对 \(F_0 \leqslant F_1 \leqslant \cdots \leqslant F_m \leqslant \cdots\) 利用 Levi 引理便得到
\[
\int_{E} \liminf\limits_{n \to \infty} f_n \mathrm d\mu = \int_{E} \lim\limits_{m \to \infty} F_m \mathrm d\mu = \lim\limits_{m \to \infty} \int_E F_m \mathrm d\mu \leqslant \sup\limits_m \inf\limits_{k \geqslant m} \int_E f_k \mathrm d\mu = \liminf\limits_{n \to \infty} \int_E f_n \mathrm d\mu
\]
\end{proof}

Fatou 引理说明: \eqref{3.4.23}成立的唯一条件是可积函数列 \(\{f_n\}\) 有积分有限的函数 \(h\) 从下面控制 \(\{f_n\}\). 这个条件是不可少的. 例 \ref{eg4} 就可以作为一个例子. 同样, 当 \(\{f_n\}\) 有从上面控制的积分有限的函数时, 就有上限的 Fatou 引理. 

当然``积分''还可以推广到可取 \(\pm \infty\) 值的可测函数上, 并建立类似的一系列结果. 读者可以仿照进行. 


\end{document}